题目内容

(1)对于定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足x(x)＋2f(x)＜0，求证：函数y＝x2f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(2)请你认真研读(1)中命题并联系以下命题：若f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，满足x(x)＋f(x)＜0，则y＝xf(x)是(0，＋∞)上的减函数．然后填空建立一个普遍化的命题：

设f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，n∈N+，若________×(x)＋n×f(x)＜0，则________是(0，＋∞)上的减函数．

注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合．

(3)证明(2)中建立的普遍化命题．

答案：
解析：

　　(1)证明：当时，用乘以，得所以，函数在上是减函数；　4分

　　(2)设是定义在上的可导函数，，若＋，则是上的减函数．4分

　　(3)证明略．4分


练习册系列答案
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定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x2与h（x）=a-2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．
对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga
1x-a
（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

对于定义在[0，1]上的函数f(x)＝－ax＋1，是否存在实数a，使f(x)在区间[0，]上为减函数，且在区间[，1]上为增函数？说明理由．
定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x2与h（x）=a-2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

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