Question

定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x²与h（x）=a-2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

Answer 1

分析：（1）欲看函数g（x）是否为G函数，根据新定义，主要看它是否满足两条，利用定义进行验证即可．
（2）根据新定义的G函数的定义，分别根据①②两条性质得出实数a的值的范围，最后综合即可禾
（3）根据（2）知：a=1，方程为4^x+2^-2x+1-1=m，令4^x=t  方程为t+

2

t

=m+1，作出其图形，由图形可得．

解答：解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x²≥0，满足条件①对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，（1分）
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x

2 1

+x

2 2

=g（x₁）+g（x₂），满足条件②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，（3分）
（2）∵h（x）=a•2^x-1是G函数，∴h（x）=a•2^x-1≥0，∴a≥

1

2x

恒成立．（4分）
∴a≥1．（5分）
由g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），得
a•2 x1+x2-1≥a•2 x1-1+a•2 x2-1，
即a[1-（2 x1-1）（2 x2-1）]≤1，（6分）
因为 x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 2 x1-1≤1，2 x2-1≤1，x₁与x₂不同时等于1
∴0≤（2 x1-1）（2 x2-1）]＜1，
∴0＜1-（2 x1-1）（2 x2-1）≤1，
∴a≤

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

（7分）
当x₁=x₂=0时，

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

的最小值=1，∴a≤1，（8分）
综合上述a的值为1．（8分）
（3）根据（2）知：a=1，方程为4^x+2^-2x+1-1=m，（9分）
令4^x=t  方程为t+

2

t

=m+1，如图 （10分）
由图形可知：
当m∈{2

2

-1}∪（2，

7

2

]时，有一解；
当m∈（2

2

-1，2]时，有二不同解；
当m∈（-∞，2

2

-1）∪（

7

2

，+∞）时，方程无解．（2分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、根的存在性及根的个数判断、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．