Question

如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m，n时，输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；
②若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍；
③若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3．试求：
（1）f（2，1）、f（3，1）的值，并推导f（m，1）的表达式（m∈N*）；
（2）写出的关系等式，并求f（m，n）的表达式（m，n∈N*）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f（n，n）能否为2011？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由．

Answer 1

解：（1）f（2，1）=3，f（3，1）=9
f（1，1）、f（2，1）、…、f（m，1）组成数列{f（m，1）}
由运算原理①、②得：f（1，1）=1，f（m，1）=3f（m﹣1，1）
∴数列{f（m，1）}是以f（1，1）=1为首项，以3为公比的等比数列
∴f（m，1）=f（1，1）3 ^m﹣1=3 ^m﹣1
（2）f（m，1）、f（m，2）、…、f（m，n）组成数列{f（m，n）}，
由运算原理③得：f（m，n）=f（m，n﹣1）+3
∴数列{f（m，n）}是以f（m，1）=3 ^m﹣1为首项，以3为公差的等差数列
∴f（m，n）=3 ^m﹣1+3（n﹣1）
（3）不能，理由如下：
由（2）得 f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1），
易知f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1）递增
又∵f（7，7）=36+18=747＜2011，f（8，8）=37+21=2208＞2011，
∴f（n，n）输出结果不可能为2011.