Question

如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m，n时，输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；
②若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍；
③若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3．试求：
（1）f（2，1）、f（3，1）的值，并推导f（m，1）的表达式（m∈N^*）；
（2）写出

f(m，n)与f(m，n-1)

的关系等式，并求f（m，n）的表达式（m，n∈N^*）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f（n，n）能否为2011？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）仔细审题后按照题设条件一步一步地进行转换，能够导出f（m，1）的表达式（m∈N）．
（2）先由题设条件把f（m，n）转化为以f（m，1）=3^m-1为首项，以3为公差的等差数列，从而得到其结果．
（3）由f（7，7）=3⁶+18=747＜2011，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2011，知f（n，n）输出结果不可能为2011．

解答：解：（1）f（2，1）=3，f（3，1）=9（2分）f（1，1）、f（2，1）、…、f（m，1）组成数列{f（m，1）}
由运算原理①、②得：f（1，1）=1，f（m，1）=3f（m-1，1）
∴数列{f（m，1）}是以f（1，1）=1为首项，以3为公比的等比数列
∴f（m，1）═f（1，1）•3^m-1=3^m-1（4分）
（2）f（m，1）、f（m，2）、…、f（m，n）组成数列{f（m，n）}，
由运算原理③得：f（m，n）=f（m，n-1）+3
∴数列{f（m，n）}是以f（m，1）=3^m-1为首项，以3为公差的等差数列
∴f（m，n）=3^m-1+3（n-1）（6分）
（3）不能，理由如下：
由（2）得 f（n，n）=3^n-1+3（n-1），易知f（n，n）=3^n-1+3（n-1）递增
又∵f（7，7）=3⁶+18=747＜2011，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2011，
∴f（n，n）输出结果不可能为2011．                     （6分）

点评：本题考查数列的递推式，题目比较新颖，解题的关键环节是认真审题，真正地理解题意．