Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，易证PO∥BD₁，由线面平行的判定定理即可证得直线BD₁∥平面PAC；
（2）由于四边形ABCD为正方形，BD⊥AC，易证AC⊥平面BDD₁，由面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）由V_D-PAC=V_A-PDC即可求得三棱锥D-PAC的体积．

解答：解：（1）设AC∩BD=O，连接OP，
∵O，P分别为BD，D₁D中点，
∴BD₁∥OP…3′
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC…5′
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴D₁D⊥AC…7′
又AC⊥BD，D₁D∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁…9′
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD₁…10′
（3）∵PD⊥平面ADC，（12分）
∴V_D-PAC=VP-ADC=

1

3

S△ADC•PD=

1

6

…14′

点评：本题考查直线与平面平行的判定与平面与平面垂直的判定，熟练掌握这些判定定理是解决问题的关键，考查学生转化与空间想象的能力，属于中档题．