Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，,

（1）求证：平面平面；

（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证面面垂直，就要证线面垂直，也即要证线线垂直，考虑到是等腰直角三角形，因此取中点，则有，同时是等边三角形，因此有，从而是二面角的平面角，由己知计算线段的长，由勾股定理知，这样就不需要再证明线面垂直了，根据直二面角的定义得面面垂直，这也是证面面垂直的另一种方法；（2）对于这种运动问题，一种方法首先作出直线与平面所成的角，由（1）知为直线与平面所成的角，要使这个角最大，则最小，因此，然后计算可得；第二种方法，以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，，可求出点坐标，是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则，计算后它是的函数，函数值最大时最大；（3）在（2）建立空间直角坐标系的基础上，求得平面与平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．

试题解析：（1）证明：取中点，连结，由，，知为等腰直角三角形，

∴，，由，，知为等边三角形，

∴，由得，∴

又，∴平面，又平面，∴平面平面

（2）解法1：如图，连结，由（1）知，

∴平面，为与平面所成的角，

在中，∵,

要最大时，只需取最小值，

而的最小值即点到的距离，这时，，

故当最大时，，即与平面所成最大角的正切值为．

解法2：由（1）知平面，，

如图所示，以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，

设点的坐标为，，

则，∴，即,

则，为平面的法向量，设与平面所成的角为，

则

当时，取最大值，，又，此时最大，，

即与平面所成最大角的正切值为.

（3）由（2）得，，设平面的法向量为，

则，取，则，即，

平面的一个法向量为，

设二面角大小为，易知其为锐角，

所以．

所以二面角的余弦值为.