Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am、高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现在的制箱材料，问当a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔的面积忽略不计)

Answer 1

答案：6m,3m
解析：

解法1：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小． 根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 得(0＜a＜30)． ① 于是 ． 当时取等号，y达到最小值． 这时a＝6，a＝－10(舍去)．将a＝6代入①式得b＝3． 故当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法2：依题意，即所求的a、b值使ab最大 由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0)． ∵，∴． 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18，即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18． ∴，解得b＝3，a＝6． 故当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解法实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法，阅读理解能力、数学建模能力．