Question

抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点、离心率的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂与抛物线L₁交于A₁，A₂两点．如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线L的斜率；
（3）是否存在实数m，使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简，
得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率 k的值．
（3）假设存在实数m，经分析在△PF₁F₂中|PF₁|最长，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，则|PF₁|=2m+1，
|PF₂|=2m-1，把代入椭圆方程求出m值．
解答：解：（1）m=1时，抛物线C₁：y²=4x，焦点为F₂ （1，0）． 由于椭圆离心率，c=1，
故 a=2，b=，故所求的椭圆方程为  ．
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），
代入抛物线C₁：y²=4x 化简得 k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，∴，x₁x₂=4，
∴|A₁A₂|=•= =6，解得  ．
（3）假设存在实数m，△PF₁F₂的边长是连续自然数，经分析在△PF₁F₂中|PF₁|最长，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，
则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把代入椭圆，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．
点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，弦长公式的应用，设出，△PF₁F₂的边长是解题的难点．