Question

（2003•东城区二模）已知抛物线C₁：y²=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C₁的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为

2

，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为

π

4

的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（Ⅰ）求点P和Q的坐标；
（Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
（Ⅲ）设点A（t，0）（常数t＞4），当a在闭区间〔1，2〕内变化时，求△APQ面积的最大值，并求相应a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1．（m＞n＞0）由

m n = 2 m2-n2=a2

解得m，n，用a表示，再利用联立直线与椭圆及抛物线的方程即可得到交点；
（II）将Q点沿直线l向上移动到Q′’点，使|QQ′|=4a．则可求出Q′点的坐标为（3a，2a）．设双曲线方程为

x2

s

-

y2

r

=1．(s•r＞0)，把P、Q′坐标代入双曲线，解出即可．
（III）利用三角形的面积计算公式及其二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1．（m＞n＞0）
由

m n = 2 m2-n2=a2

解得

m2=2a2 n2=a2

∴椭圆方程为

x2

2a2

+

y2

a2

=1．
直线 l：y=x-a．由

y=x-a x2 2a2 + y2 a2 =1.

可求出 P(

4

3

a，

1

3

a)．
由

y=x-a y2=4ax

可求出Q((3-2

2

)a，(2-2

2

)a)．
（Ⅱ）将Q点沿直线l向上移动到Q′’点，使|QQ′|=4a．
则可求出Q′’点的坐标为（3a，2a）．
设双曲线方程为

x2

s

-

y2

r

=1．(s•r＞0)
由于P、Q′在双曲线上，则有

(3a)2 s - (2a)2 r =1 ( 4 3 a)2 s - ( 1 3 a)2 r =1.

解得

1 s = 7 11a2 ， 1 r = 13 11a2 ．

∴双曲线方程为

7

11a2

x2-

13

11a2

y2=1．
（III）S_△AFQ=

1

2

|FA|(yP-yQ)=

1

2

(t-a)[

1

3

-(2-2

2

)]a=(

2

-

5

6

)(ta-a2)=(

2

-

5

6

)[-(a-

t

2

)2+

t2

4

]
由于1≤a≤2，当t＞4时，

t

2

＞2．
∴当a=2时，S最大值=(

2

-

5

6

)(2t-4)．

点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、二次函数的单调性、三角形的面积计算公式等是解题的关键．