题目内容

已知sinα，cosα是关于x的二次方程4x²+2mx+m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵sinα，cosα是关于x的二次方程4x²+2mx+m=0的两个根，
∴当△=（2m）²-16m≥0，即m≤0，或m≥4时，
有sinα+cosα=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，sinαcosα= $\text{[math]}$ ，
又sin²α+cos²α=1，即（sinα+cosα）²-2sinαcosα= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
化简得：（m-1）²=5，
解得：m=1+ $\text{[math]}$ （舍去）或m=1- $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ；（4分）
（2）∵sinα+cosα=- $\text{[math]}$ ，sinαcosα= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ ．（5分）
分析：（1）由已知中sinθ、cosθ是关于x的方程4x²+2mx+m=0的两个实根，我们根据方程存在实根的条件，我们可以求出满足条件的m的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，我们易求出满足条件的m的值；
（2）先由第一问求出的m确定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，变形后与分子约分可得到关于sinα+cosα及sinαcosα的关系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三角函数中的恒等变换应用，其中本题第一问易忽略方程存在实数根，而错解为 $\text{[math]}$ ，第二问利用三角函数的恒等变形把所求式子化为关于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解题的关键，同时注意“1”的灵活运用．