Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析：（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，知EF∥BC，由此能够证明EF∥面ABC．
（2）由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直径，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能够证明EF⊥面PAC．
（3）因为PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，所以∠PCA即为PC与面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能够求出三棱锥B-PAC的体积．

解答：（1）证明：在三角形PBC中，
∵E是PC中点，F为PB中点，
∴EF∥BC，BC?面ABC，EF?面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC
∵EF∥BC，BC⊥面PAC，
∴EF⊥面PAC．
（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，
∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，
∴∠PCA=45°，PA=AC，
在Rt△ABC中，E是PC中点，
∠BAC=

π

4

，AC=BC=

2

，
∴三棱锥B-PAC的体积VB-PAC=VP-ABC=

1

3

S△ABCPA=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．