Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且PA=AC=BC，E，F分别为PC，PB中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥PC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证EF∥面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面ABC内一直线平行即可，根据中位线可知EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证EF⊥PC，可先证EF⊥面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与面PAC内两相交直线垂直，而PA⊥面ABC，BC?面ABC，则BC⊥PA，而AB是⊙O的直径，则BC⊥AC，又PA∩AC=A，则BC⊥面PAC，满足定理条件；
（Ⅲ）根据PA⊥面ABC，则PA即为三棱锥B-PAC的高，将三棱锥B-PAC的体积转化成三棱锥P-ABC的体积，根据锥体的体积公式进行求解即可．

解答：证明：（Ⅰ）在△PBC中，∵E，F分别为PC，PB中点，∴EF∥BC，
又∵BC?面ABC，EF?面ABC，∴EF∥面ABC（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥PA，∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，又∵PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC．∵EF∥BC，∴EF⊥面PAC，∵PC?面PAC，∴EF⊥PC（9分）
（Ⅲ）在Rt△ABC中，AC=BC=

2

，∴△ABC的面积S△ABC=

1

2

AC•BC=1，
∵PA⊥面ABC，∴VB-PAC=VP-ABC=

1

3

S△ABCPA=

2

3

（13分）

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．