题目内容

某公司需制作容积为216ml的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省？

解：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm．
根据V=x•2x•h，可得216=2hx²，所以h= $\text{[math]}$ ．
所以，表面积S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x²+3x• $\text{[math]}$ ）=4（x²+ $\text{[math]}$ ）（x＞0），
由S′（x）=4（2x- $\text{[math]}$ ）=0，得x= $\text{[math]}$ ．
当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，S′（x）＜0，函数S（x）在（0， $\text{[math]}$ ）是减函数；
当x＞ $\text{[math]}$ 时，S′（x）＞0，函数S（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）是增函数．
所以，当x= $\text{[math]}$ 时，S（x）取得极小值，且是最小值．
答：当饮料盒底面的宽为 $\text{[math]}$ cm时，才能使它的用料最省．
分析：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm．由题意，得216=2hx²，从而得h= $\text{[math]}$ ．用料最省，即长方体表面积最小，利用导数即可求得其最小值．
点评：本题考查导数在解决实际问题中的应用，函数在开区间内若有唯一极值点，则即为最值点，应用题注意步骤的规范性．