题目内容
某公司需制作容积为216ml的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省？分析：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm．由题意，得216=2hx2，从而得h=
．用料最省，即长方体表面积最小，利用导数即可求得其最小值．
| 216 |
| 2x2 |
解答：
解：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm．
根据V=x•2x•h，可得216=2hx2，所以h=
．
所以，表面积S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x2+3x•
）=4（x2+
）（x＞0），
由S′（x）=4（2x-
）=0，得x=3
．
当0＜x＜3
时，S′（x）＜0，函数S（x） 在（0，3
）是减函数；
当x＞3
时，S′（x）＞0，函数S（x） 在（3
，+∞）是增函数．
所以，当x=3
时，S（x）取得极小值，且是最小值．
答：当饮料盒底面的宽为3
cm时，才能使它的用料最省．
解：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm．根据V=x•2x•h，可得216=2hx2，所以h=
| 216 |
| 2x2 |
所以，表面积S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x2+3x•
| 216 |
| 2x2 |
| 162 |
| x |
由S′（x）=4（2x-
| 162 |
| x2 |
| 3 | 3 |
当0＜x＜3
| 3 | 3 |
| 3 | 3 |
当x＞3
| 3 | 3 |
| 3 | 3 |
所以，当x=3
| 3 | 3 |
答：当饮料盒底面的宽为3
| 3 | 3 |
点评：本题考查导数在解决实际问题中的应用，函数在开区间内若有唯一极值点，则即为最值点，应用题注意步骤的规范性．
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