Question

在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2,,且平面,平面平面.

（1）当平面时，求的长；

（2）当时，求二面角的大小.

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中点T，连CT，AT，求出平面CDE的一个法向量为，根据AB||平面CDE可得由此可求出a值，即AE长；（2）转化为求两平面法向量的夹角，由（1）易知平面CDE的一个法向量，可证平面AEC的一个法向量利用向量夹角公式即可求得，注意二面角与向量夹角的关系；

试题解析：（1）设，如图，建立空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,B（2,0,0）,D（0,2,0）,E（0,0,a）,

取BD的中点T，连接CT,AT,则CTBD.

又平面BCD平面ABD,

所以CT平面BCD,

所以CT//AE.

AB=AD=BC=CD=2,,

所以CDCB,,

C（1,1,）,

设平面CDE的法向量为,

则有, .

AB//平面CDE,

即AE的长为.

（2）连接AC,当时,由（1）可知平面CDE的一个法向量，

又BDAT,BDAE,BD平面ACE,

平面ACE的一个法向量

二面角的大小为.

考点：二面角及其求法，空间向量求平面夹角