Question

已知a,b∈R₊,n∈N₊,求证:(a+b)(aⁿ+bⁿ)≤2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹).

Answer 1

思路分析：本题可以用作差比较法,但差式中a,b的大小关系需要讨论.

证明:∵(a+b)(aⁿ+bⁿ)-2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹)

=aⁿ⁺¹+abⁿ+baⁿ+bⁿ⁺¹-2aⁿ⁺¹-2bⁿ⁺¹

=a(bⁿ-aⁿ)+b(aⁿ-bⁿ)

=(a-b)(bⁿ-aⁿ).

(1)若a＞b＞0时,bⁿ-aⁿ＜0,a-b＞0,

∴(a-b)(bⁿ-aⁿ)＜0.

(2)若b＞a＞0时,bⁿ-aⁿ＞0,a-b＜0,

∴(a-b)(bⁿ-aⁿ)＜0.

(3)若a=b＞0时,(bⁿ-aⁿ)(a-b)=0,

    综上(1)(2)(3)可知,对于a,b∈R₊,n∈N^*,都有(a+b)(aⁿ+bⁿ)≤2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹).