Question

正数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若S₂₀₁₃是一个整数，求符合条件的自然数a．?

Answer 1

【答案】分析：（1）由2S_n=a_na_n+1-1，得2S_n+1=a_n+1a_n+2-1，故2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能够证明a_n+2-a_n=2．
（2）取n=1，得2a=aa₂-1，故，根据数列是隔项成等差，能求出a的取值范围．
（3）由，求出S₂₀₁₃=，由此能够求出符合条件的自然数a．
解答：（1）证明：2S_n=a_na_n+1-1①，
2S_n+1=a_n+1a_n+2-1②，
②-①：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
任意n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+2-a_n=2…（4分）
（2）解：计算n=1，2a=aa₂-1，
∴…（6分）
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，，a+2，，a+4，，…
所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，
整个数列成单调递增的充要条件是…（8分）
解得…（10分）
（3）解：，
S₂₀₁₃=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₂）
=
=…（14分）
S₂₀₁₃是一个整数，
所以a=1，2，503，1006一共4个
对一个得（1分），合计（4分）
点评：本题考查定值的证明，考查实数的取值范围的求法，考查符号条件的自然数的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．