Question

（2012•奉贤区一模）正数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若S₂₀₁₃是一个整数，求符合条件的自然数a．?

Answer 1

分析：（1）由2S_n=a_na_n+1-1，得2S_n+1=a_n+1a_n+2-1，故2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能够证明a_n+2-a_n=2．
（2）取n=1，得2a=aa₂-1，故a2=

1+2a

a

=2+

1

a

，根据数列是隔项成等差，能求出a的取值范围．
（3）由a2012=2012+

1

a

，a2013=2012+a，求出S₂₀₁₃=2026084+1007a+

1006

a

，由此能够求出符合条件的自然数a．

解答：（1）证明：2S_n=a_na_n+1-1①，
2S_n+1=a_n+1a_n+2-1②，
②-①：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
任意n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+2-a_n=2…（4分）
（2）解：计算n=1，2a=aa₂-1，
∴a2=

1+2a

a

=2+

1

a

…（6分）
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，2+

1

a

，a+2，4+

1

a

，a+4，6+

1

a

，…
所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，
整个数列成单调递增的充要条件是a＜2+

1

a

＜a+2…（8分）
解得1＜a＜1+

2

…（10分）
（3）解：a2012=2012+

1

a

，a2013=2012+a，
S₂₀₁₃=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₂）
=

(a+2012+a)

2

×1007+

(2+ 1 a +2012+ 1 a )

2

×1006
=2026084+1007a+

1006

a

…（14分）
S₂₀₁₃是一个整数，
所以a=1，2，503，1006一共4个
对一个得（1分），合计（4分）

点评：本题考查定值的证明，考查实数的取值范围的求法，考查符号条件的自然数的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．