Question

设函数F(x )=x²+aln(x+1)
(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
(II)若函数y=f(x)有两个极值点x₁,x₂且，求证:.

Answer 1

（Ⅰ）； (II)见解析.

试题分析：（Ⅰ）利用导数，先对函数进行求导，让，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范围；(II)令，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得，然后找的表达式，利用导数求此函数单调性，可得结论.
试题解析：（Ⅰ）在区间上恒成立，
即区间上恒成立，       1分
.      3分
经检验， 当时，，时，，
所以满足题意的a的取值范围为.      4分
（Ⅱ）函数的定义域，，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得.       6分
法一：，，，
，令，    8分
，，,
因为，存在，使得，

	-	0	+

，，，所以函数在为减函数，   10分
即        12分
法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.
【证法2】为方程的解，所以,
∵，，，∴,
先证，即证（）,
在区间内，，内，所以为极小值，,
即，∴成立；       8分
再证，即证,
,
令，       10分
,
,
，，,
∴，在为增函数．
 
．
综上可得成立．         12分