Question

4．已知x∈R⁺，函数f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），若x∈[1，2]时，f（x）=（x-1）（x-2），则函数y=f（x）+$\frac{1}{4}$在区间[1，100]内零点的个数为4．

Answer 1

分析 由条件，将x换为2x，可得f（x）=f（4x），分别求得区间[2，4]，[4，8]，[8，16]，[16，32]，[32，64]，[64，128]内的函数的解析式，再由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解方程即可判断零点的个数．

解答 解：函数f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），
即有f（$\frac{1}{2x}$）=-f（2x），则f（$\frac{2}{x}$）=f（$\frac{1}{2x}$），
即为f（x）=f（4x），
当x∈[1，2]时，f（x）=（x-1）（x-2），
当$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，1≤4x≤2，f（4x）=（4x-1）（4x-2），
即f（x）=（4x-1）（4x-2）；
当$\frac{1}{2}$≤x≤1时，1≤$\frac{1}{x}$≤2，f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）=-（$\frac{1}{x}$-1）（$\frac{1}{x}$-2）；
当2≤x≤4时，$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{4}$≤1，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2）；
当4≤x≤8时，1≤$\frac{x}{4}$≤2，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{4}$-1）（$\frac{x}{4}$-2）；
当8≤x≤16时，2≤$\frac{x}{4}$≤4，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{16}{x}$-1）（$\frac{16}{x}$-2）；
当16≤x≤32时，4≤$\frac{x}{4}$≤8，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{16}$-1）（$\frac{x}{16}$-2）；
当32≤x≤64时，8≤$\frac{x}{4}$≤16，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{64}{x}$-1）（$\frac{64}{x}$-2）；
当64≤x≤128时，16≤$\frac{x}{4}$≤32，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{64}$-1）（$\frac{x}{64}$-2）．
令y=f（x）+$\frac{1}{4}$=0，即为f（x）=-$\frac{1}{4}$，
当x∈[1，2]时，f（x）=（x-1）（x-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{3}{2}$；
同理当x∈[4，8]时，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=6；
当x∈[16，32]时，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=24；
当x∈[64，100]时，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=96；
当2≤x≤4时，f（x）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
同理8≤x≤16时，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
32≤x≤64时，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅．
综上可得，函数y=f（x）+$\frac{1}{4}$在区间[1，100]内零点的个数为4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的零点的个数的求法，注意运用函数方程的转化思想，同时考查函数的解析式的求法，考查运算能力，属于中档题．