题目内容
【题目】如图几何体
中，等边三角形
所在平面垂直于矩形
所在平面，又知
，
//
.
（1）若
的中点为
，
在线段
上，
//平面
，求
；
（2）若平面
与平面所成二面角
的余弦值为
，求直线
与平面所成角
的正弦值；
（3）若
中点为
，
，求在平面上的正投影。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
在平面
上的正投影为
.
【解析】
（1）设
的中点
，可得
四点共面，从而可证得
，即得
，即可得解；
（2）设
的中点为，可证得
两两垂直，设
，分别以为
轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角列方程可得
，从而再利用空间向量建立线面角的公式求解即可；
（3）由
平面
，可证得
，再通过勾股定理在
中，可证得
，进而可找到在平面上的正投影为.
(1)设的中点，连接
，因为
；
所以四点共面，
又因为
平面，
面
，平面
平面
所以；
所以
.
(2)设的中点为，
的中点为
，连接
；因为
为等边三角形，所以
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
面
设，分别以为轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
则
，
设
为平面
的法向量，
则
，
；得
，
，
所以
.
同理得平面的法向量
所以
，
，
所以
又因为
，所以
(3)由(2)知易证：平面，所以
又因为
，所以
又因为在中， 
，
，
，
所以，
所以
平面，所以在平面上的正投影为.
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