Question

（2010•广东模拟）已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2，
（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；
（II）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数F（x）的导函数，通过解不等式得函数的单调区间，进而求得函数的极小值，证明此极小值恒大于零，即可证明函数F（x）没有零点；
（II）先利用函数单调性的定义，将所求问题转化为新函数h（x）=mg（x）-xf（x）=

1

2

mx²-xlnx，在（0，+∞）上为增函数问题，进而转化为不等式恒成立问题，通过求函数最值法解决恒成立问题，即得所求结果

解答：解：（I）F（x）=ag（x）-f（x）=

1

2

ax²-lnx，
F′（x）=ax-

1

x

=

ax2-1

x

   （x＞0）
∴函数F（x）在（0，

1 a

）上为减函数，在（

1 a

，+∞）上为增函数
若F（x）没有零点，须且只须F（

1 a

）＞0，
即

1

2a

+

1

2

lna＞0，即

1

a

+lna＞0
设g（a）=

1

a

+lna，∵g′（a）=

a-1

a2

∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即当a＞0时，

1

a

+lna＞0恒成立
故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）
（II）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，总有mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=

1

2

mx²-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥

lnx+1

x

在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=

lnx+1

x

，则G′（x）=

-lnx

x2

∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1

点评：本题主要考查了导数运算和导数在函数单调性、极值、最值、零点问题中的应用，构造函数解决问题的能力和技巧，转化化归的思想方法，有一定难度，属难题