Question

（2010•广东模拟）函数f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）．x∈R
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）在[0，π）上的减区间；
（3）若f（a）=

2 10

5

，a∈（0，

π

2

），求tan（2a+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）由诱导公式可得f（x）=cos

x

2

+sin

x

2

，由和差角公式，可得f（x）=sin（

x

2

+

π

4

），进而求出f（x）的周期；
（2）根据（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性根据

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，及x∈[0，π），可求出f（x）在[0，π）上的减区间；
（3）根据（1）中函数的解析式，结合f（a）=

2 10

5

，a∈（0，

π

2

），可求出a的各三角函数值，进而根据倍角及和角正切公式得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin（

x

2

+

π

4

）
∴f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π                      …（4分）
（2）由

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

π

2

+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，k∈Z，
又x∈[0，π），
∴

π

2

≤x＜π
∴f（x）在[0，π）上的减区间是[

π

2

，π）     …（8分）
（3）由f（a）=

2 10

5

，得cos

a

2

+sin

a

2

=

2 10

5

，
∴1+sina=

8

5

，
∴sina=

3

5

又a∈（0，

π

2

），
∴cosa=

4

5

，
∴tana=

3

4

，
∴tan2a=

24

7

，
∴tan（2a+

π

4

）=-

31

17

．      …（12分）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的单调性，诱导公式的作用，两角和的正切公式，二倍角公式，三角函数周期性及其求法，是三角函数问题较为综合的应用，熟练掌握正弦型函数的性质及三角函数公式，是解答查的关键．