Question

已知函数f（x）的定义域是，且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函数；
（2）求当时函数f（x）的解析式，并求x∈Z）时f（x）的解析式；
（3）当x∈时，解不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据与f（x+2）=f（x）可求出f（x）与f（-x）的关系，从而确定函数的奇偶性；
（2）当x∈时，，代入已知解析式，从而求出所求，当x∈Z）时，，代入已知解析式即可求出所求；
（3）将函数解析式代入，然后讨论两根的大小，从而求出不等式的解集．
解答：解：（1）由得，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈时，，
∴f（1-x）=3^1-x．    （7分）
而，
∴f（x）=3^x-1．      （9分）
当x∈Z）时，，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                  （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1
即为x-2k-1＞x²-（2k+2）x+2k+1，
即x²-（2k+3）x+2（2k+1）＜0，（13分）（x-2）[x-（2k+1）]＜0
当2k+1＜2即时，x∈（2k+1，2）与条件不符；  （14分）
当2k+1=2即时，无解．            （15分）
当2k+1＞2即时，若即时整数k不存在；（16分）
若即时，．         （17分）
综上：k≥1时 ，k＜1时x∈φ（18分）
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及在给定区间上的解析式和不等式的解集等有关问题，属于中档题．