Question

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于点A，B，点M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

2

，又OA⊥OB，求a，b．

Answer 1

分析：联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求出点M的坐标，由直线OM的斜率为

2

得到关于a，b的一个方程，再由OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0得到关于a，b的另一方程，联立求解a，b后验证满足△＞0即可．

解答：解：由

x+y=1 ax2+by2=1

消去y，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．
当△=4b²-4（a+b）（b-1）=4（a+b-ab）＞0时，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

．
弦AB的中点坐标为(

b

a+b

，

a

a+b

)．
∴OM所在直线斜率

a

b

=

2

    ①
∵OA⊥OB，即

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)
=2x1x2-(x1+x2)+1=

2(b-1)

a+b

-

2b

a+b

+1=1-

2

a+b

=0．
得：a+b=1    ②
由①②得：a=2

2

-2，b=4-2

2

．
满足不等式△=4b²-4（a+b）（b-1）=4（a+b-ab）＞0．
∴a=2

2

-2，b=4-2

2

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数量积判断两个向量的垂直关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用“设而不求”的解题思想方法，该题是中档题．