Question

11．已知点A（2，2），B（3，4），C（m，0），△ABC的面积为5．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，∠BAC的平分线交线段BC于D，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两点式求出AB的方程，利用三角形的面积公式、点到直线的距离公式，求得m的值．
（2）设点D的坐标为（a，b），利用三角形内角平分线的性质，向量坐标形式的运算求得a、b的值，可得点D的坐标．

解答 解：（1）∵点A（2，2），B（3，4），C（m，0），设点C到直线AB的距离为d，
则|AB|=$\sqrt{{（3-2）}^{2}{+（4-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB直线的方程为$\frac{y-2}{4-2}$=$\frac{x-2}{3-2}$，即2x-y-2=0，
∴d=$\frac{|2m-0-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$．
由于△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$=5，∴m=±5．
（2）若m＞0，则点C的坐标为（5，0），设点D的坐标为（a，b），
由三角形内角平分线的性值可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}$，即$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{（5-2）}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}$，即$\sqrt{5}$$\overrightarrow{DC}$=$\sqrt{13}$$\overrightarrow{BD}$，
即 $\sqrt{5}$（5-a，-b）=$\sqrt{13}$（a-3，b-4），∴5$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$a=$\sqrt{13}$a-3$\sqrt{13}$，且-$\sqrt{5}$b=$\sqrt{13}$b-4$\sqrt{13}$，
求得a=$\frac{5\sqrt{5}+3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$，b=$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$，
即点D的坐标为（a$\frac{5\sqrt{5}+3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$，$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$）．

点评 本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，三角形内角平分线的性质，向量坐标形式的运算，属于中档题．