Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^﹡，
（Ⅰ）设b_n+1=1+，n∈N^﹡，求证：
（1）=；
（2）数列{}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设，n∈N^﹡，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（1）通过b_n+1=1+，化简a_n+1=，推出的比值，得到恒等式即可．
（2）通过（1）的关系式，利用两边平方，即可证明所证明的数列是等差数列，求出公差．
（Ⅱ）利用反证法证明等比数列{a_n}的公比为q=1，推出a₁的范围，利用．推出b₁、b₂、b₃中至少有两项相同，得到a₁=．然后求出b₁的值．
解答：解：（Ⅰ）（1）∵b_n+1=1+，∴a_n+1==．
∴=．------（3分）
（2）因为=，所以 （n∈N^*）．
∴数列{}是以1 为公差的等差数列．------（2分）
（Ⅱ）∵a_n＞0，b_n＞0，∴．．
∴1＜a_n+1=≤．（﹡）
设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n＞0知q＞0，下面用反证法证明q=1
若q＞1则a₁=，∴当n＞log_q时，a_n+1=a₁qⁿ，与（﹡）矛盾．
若0＜q＜1则，∴当n＞log_q时，a_n+1=a₁qⁿ＜1，与（﹡）矛盾．
∴综上所述，q=1．∴a_n=a₁，n∈N^*，∴1．
又∵b_n+1===b_n，n∈N^*，∴{b_n}是公比是的等比数列．
若a₁，则，于是b₁＜b₂＜b₃．
又由a_n+1=即a₁=，得．
∴b₁、b₂、b₃中至少有两项相同，与b₁＜b₂＜b₃矛盾．∴a₁=．
∴b_n=．
∴a₁=b₂=．------（5分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．