题目内容
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
，n∈N*．
（1）求证：当n≥2时，有an≤
成立；
（2）设bn+1=
，n∈N*，求证：数列{(
)2}是等差数列；
（3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
|
（1）求证：当n≥2时，有an≤
| ||
| 2 |
（2）设bn+1=
|
| bn |
| an |
（3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
分析：（1）利用基本不等式，结合条件，可得当n≥2时，有an≤
成立；
（2）利用等差数列的定义，即可证得结论；
（3）利用反证法证明，对q分类讨论，引出矛盾，从而可得结论．
| ||
| 2 |
（2）利用等差数列的定义，即可证得结论；
（3）利用反证法证明，对q分类讨论，引出矛盾，从而可得结论．
解答：（1）证明：因为{an}和{bn}各项均为正数，所以anbn≤
，
所以an+1=
≤
．
（2）证明：因为an+1=
，所以
=
；
又bn+1=
，所以bn+12=
．
两式相乘可得
=
•
=1+
，
所以数列{(
)2}是等差数列；
（3）不可能为等比数列．证明：
反证法：若{an}为等比数列，设其公比为q，由{an}为正项数列，易得q＞0．
接下来我们按下面的情况分类讨论：
①若q＞1，则当n＞1+logq
时，有an=a1qn-1＞
，矛盾．
②若q=1，不妨设an≡a，（其中a为正常数），所以bn+1=abn，所以{bn}为等比数列．
因为an+1=
，所以有a=
，化简得abn2-bn+a3=0
对于n∈N*成立，因此数列{bn}的各项只能取一个或两个不同的值，
又因为{bn}为等比数列，所以只能有a=1，
而此时方程abn2-bn+a3=0变为bn2-bn+1=0无实根，所以q≠1．
③若0＜q＜1，则由an+1=
可得an+2=
=
=
联立
可得q=
•
，所以qan(q2+bn2)=an2+bn2．
因为0＜q＜1，所以当n＞1+logq
时，有an=a1qn-1＜
，所以当n＞1+logq
时，有bn+1=anbn＜
bn，所以当n＞1+logq
时，数列{bn}为减数列．
设N=[1+logq
]+1，M=max{b1，b2，…bN-1，bN}，易得bn≤M对于n∈N*成立，所以bn+1=anbn≤Man．
所以当n≥2时，有q(q2+bn2)=an+
≤an+
=(q+
)an-1．
则当n＞6+logq
时，有q3＜q(q2+bn2)≤(q+
)an-1＜q3，矛盾．
综上所述，{an}不可能为等比数列．
| an2+bn2 |
| 2 |
所以an+1=
|
| ||
| 2 |
（2）证明：因为an+1=
|
| 1 |
| an+12 |
| an2+bn2 |
| anbn |
又bn+1=
|
| bn |
| an |
两式相乘可得
| bn+12 |
| an+12 |
| an2+bn2 |
| anbn |
| bn |
| an |
| bn2 |
| an2 |
所以数列{(
| bn |
| an |
（3）不可能为等比数列．证明：
反证法：若{an}为等比数列，设其公比为q，由{an}为正项数列，易得q＞0．
接下来我们按下面的情况分类讨论：
①若q＞1，则当n＞1+logq
| ||
| 2a1 |
| ||
| 2 |
②若q=1，不妨设an≡a，（其中a为正常数），所以bn+1=abn，所以{bn}为等比数列．
因为an+1=
|
|
对于n∈N*成立，因此数列{bn}的各项只能取一个或两个不同的值，
又因为{bn}为等比数列，所以只能有a=1，
而此时方程abn2-bn+a3=0变为bn2-bn+1=0无实根，所以q≠1．
③若0＜q＜1，则由an+1=
|
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|
联立
|
|
|
因为0＜q＜1，所以当n＞1+logq
| 1 |
| 2a1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2a1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2a1 |
设N=[1+logq
| 1 |
| 2a1 |
所以当n≥2时，有q(q2+bn2)=an+
| bn2 |
| an |
| M2an-12 |
| an |
| M2 |
| q |
则当n＞6+logq
| 1 |
| a1(q2+M2) |
| M2 |
| q |
综上所述，{an}不可能为等比数列．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
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