Question

17. 已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

（Ⅰ）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

（Ⅱ）求点D₁到面BDE的距离.

Answer 1

 

（Ⅰ）证法一：取BD中点M，连结MC、FM，

∵F为BD₁中点，

∴FM∥D₁D且FM＝D₁D.

又EC＝CC₁且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形，

∴EF⊥CC₁.                                                                    

又CM⊥面DBD₁，

∴EF⊥面DBD₁，

∵BD₁面DBD₁，

∴EF⊥BD₁.

故EF为BD₁与CC₁的公垂线.                                         

证法二：建立如图的坐标系，得

B（0，1，0），D₁（1，0，2），F（，，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1）.

∴=（，，0），=（0，0，2），

=（1，－1，2）.                                                         

∴·=0，·=0，

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁.

故EF是CC₁与BD₁的公垂线.                                        

 

（Ⅱ）解：连结ED₁，有=.

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，设点D₁到面BDE的距离为d，

 

则S_△DBE·d=·EF.                                                  

 

∵AA₁=2，AB=1，

 

∴BD=BE=ED=，EF=.

 

∴=··2=，

 

S_△DBE=··（）²=.

 

∴d==.

 

故点D₁到平面BDE的距离为.