题目内容
已知函数g（x）=ax-2lnx（I）若a＞0，求函数g（x）的最小值
（Ⅱ）若函数f（x）=g（x）-
在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（I）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数g（x）的最小值；
（II）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（I）求导函数，可得g′（x）=
∵a＞0
∴x∈（0，
）时，g′（x）＜0；x∈（
，+∞），g′（x）＞0
∴函数的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞），
∴函数在x=
时，取得极小值，即为最小值，最小值为g（
）=2-2ln
；
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即
在（0，+∞）上恒成立，∵
，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；
②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即
在（0，+∞）上恒成立，∵
，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；
综上，a≥1或a≤0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
（II）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（I）求导函数，可得g′（x）=
∵a＞0
∴x∈（0，
）时，g′（x）＜0；x∈（
，+∞），g′（x）＞0∴函数的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞），∴函数在x=
时，取得极小值，即为最小值，最小值为g（
）=2-2ln
；（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即
在（0，+∞）上恒成立，∵
，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即
在（0，+∞）上恒成立，∵
，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；综上，a≥1或a≤0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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