题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，
，E为PB的中点.
（1）证明：平面
平面PBC；
（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）可先证明
，
，从而
平面PBC，由此能证明平面
平面PBC；
（2）推导出
,以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PD与平面AEC所成角的正弦值
（1）证明：由
平面ABCD，故.
又
，
，
，
所以
.
故
，.
又
，所以平面PBC，又
平面
所以平面
平面PBC.
（2）平面ABCD，故.
又
，
.
如图建立坐标系，
，
，
，
，
，
.
∴
， 
， 
.
设平面ACE的一个法量为
，
由
，得
，取
，则
故
，
设直线PD与平面AEC所成角为
，
则
.
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