题目内容
3．已知a＞1，a≠1，数列{bn}的前n项和Sn=$\frac{alga}{（1-a）^{2}}$[1-（1+n-na）an]（n∈N+），若数列{bn}为递增数列，求a的取值范围．分析 利用当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，可得bn=nanlga．通过比商即可得出．
解答 解：当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=$\frac{alga}{（1-a）^{2}}$[1-（1+n-na）an]-$\frac{alga}{（1-a）^{2}}${1-[n-（n-1）a]an-1}
=nanlga．
b1=alga．
∴bn=nanlga．
∵a＞1，
∴bn＞0，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{（n+1）{a}^{n+1}lga}{n{a}^{n}lga}$=$\frac{（n+1）a}{n}$＞1，
∴bn+1＞bn．
∴数列{bn}为递增数列，
因此a的取值范围是a＞1．
点评 本题考查了递推式的应用、数列的单调性、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | -$\frac{9}{2}$ | B． | -$\frac{7}{2}$ | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |