Question

3．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3）．
（1）若点P（m，m+1）在圆C上，求直线PQ的斜率；
（2）若M是圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若点N（a，b）满足关系式a²+b²-4a-14b+45=0，求$\frac{b-3}{a+3}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由点P（m，m+1）在圆上，可得m的方程，解方程可得；
（2）由（1）配方可得圆C：（x-2）²+（y-7）²=8，可得$r=2\sqrt{2}$，$|{CQ}|=4\sqrt{2}$，结合图象易得最值；
（3）设$E（{-3，3}），k=\frac{b-3}{a+3}$，当过点E的直线与圆相切时，k取最大值，结合点到直线的距离公式可得．

解答 解：（1）∵点P（m，m+1）在圆上，
∴m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0
解得m=4，∴P（4，5），
∴k_PQ=$\frac{3-5}{-2-4}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）配方可得圆C：（x-2）²+（y-7）²=8，
∴$r=2\sqrt{2}$，$|{CQ}|=4\sqrt{2}$，∴${|{MQ}|_{max}}=|{CQ}|+r=6\sqrt{2}$，
${|{MQ}|_{min}}=|{CQ}|-r=2\sqrt{2}$；
（3）设$E（{-3，3}），k=\frac{b-3}{a+3}$，
如图，当过点E的直线与圆相切时，k取最大值．
∵切线方程为y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0
∴$d=\frac{{|{5k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$，∴$k=\frac{{20±2\sqrt{66}}}{17}$，
∴$\frac{b-3}{a+3}$的最大值为$\frac{{20+2\sqrt{66}}}{17}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．