Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试判别函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即

1+x

x-1

＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此解得函数f（x）的定义域．
（2）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．
（3）f（x）＜0，即 log_a

1+x

1-x

＜0，再分当 0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，分别求得x的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）可得

1+x

1-x

＞0，
即

1+x

x-1

＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a (

1+x

1-x

)-1=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数．
（3）f（x）＜0，即 log_a

1+x

1-x

＜0，当 0＜a＜1时，有

1+x

1-x

＞1，
即

2x

x-1

＜0，即2x（x-1）＜0，解得0＜x＜1．
当a＞1时，有 1＞

1+x

1-x

＞0，∴

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，即

1+x x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，即

-1＜x＜1 x＜0 ，或x＞1

，解得-1＜x＜0．
综上可得，当 0＜a＜1时，使f（x）＜0的x的取值范围为（0，1）；
当a＞1时，使f（x）＜0的x的取值范围为（-1，0）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和值域，对数函数的单调性和特殊点，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题．