Question

【题目】如图，为正三角形，且，，将沿翻折.

（1）若点的射影在上，求的长；

（2）若点的射影在中，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

Answer 1

【答案】（1）2 （2）.

【解析】

（1）过A作交于E，取中点O，连接，，先证明平面和，求出，，再求的长；

（2）以O为原点，以为x轴，以为y轴，以平面的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系， 设二面角为，，利用向量法求出，即得点坐标和的长.

（1）过A作交于E，则平面.

取中点O，连接，，

∵平面，平面，

∴，

又是正三角形，∴，

又，AE，平面，

∴平面，∴.

又，O为的中点，∴为的中点.

∵，∴，，，

∴，.

∴；

（2）取中点为过点作平面的垂线，垂足为,连接,

因为.

以O为原点，以为x轴，以为y轴，以平面的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角为，

因为平面，与（1）同理可证平面，

，，

则，，，.

∴，，

，

设平面的法向量为，

则，

令，得.

∴，

解得.

∴，又，

∴.