Question

如图，点A，B在抛物线y²=2px（p＞0）上，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，则点D在

1. A.
   某个圆上运动
2. B.
   某个椭圆上运动
3. C.
   某个双曲线上运动
4. D.
   某个抛物线上运动

Answer 1

D
分析：设出A，B，D的坐标，利用OA⊥OB，可得y₁y₂=-4p²，利用OD⊥AB，A，D，B共线，即可求得结论．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），（y₁≠y₂）则
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵点A，B在抛物线y²=2px
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，
∴y₁y₂=-4p²，
∵OD⊥AB，∴
∴
∵A，D，B共线，，
∴（x-x₁）（y-y₂）=（y-y₁）（x-x₂）
∴x•（y₁-y₂）+y•+=0
∴x-y•-2p=0
∴x-y•（-）-2p=0
∴x²+y²-2px=0，（x≠0）．
即D点的轨迹方程为x²+y²-2px=0，（x≠0）．
故选D．
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．