Question

10．已知函数f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函数g（x）=2x-f（x），求函数g（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数g（x）=x-x³+x²-2，的导函数，利用导函数求出原函数的单调区间，进而求出其极大值、极小值；
（Ⅱ）先求出其导函数，把函数f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒为单调递增函数，转化为其导函数的最小值恒大于等于0，利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出导函数的最小值，再与0比即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1，f（x）=x³-x²+x+2，g（x）=x-x³+x²-2，求导，g′（x）=-3x²+2x+1，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$，x=1，

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	-$\frac{59}{27}$	↗	-1	↘

∴当x=1时，取极大值，极大值为：g（1）=-1，当x=-$\frac{1}{3}$时，取极小值，极小值为g（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax+1的对称轴为x=-$\frac{a}{3}$
①若-$\frac{a}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，即a≤1时，要使f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上单调递增，则有
△=4a²-12≤0，则-$\sqrt{3}$$≤a≤\sqrt{3}$
∴-$\sqrt{3}$≤a≤1
②若-$\frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}$，即a＞1时，由题知f（-$\frac{1}{3}$）≥0，则a≤2
∴1＜a≤2，
综上可知：a的取值范围，（-$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，属于中档题．