题目内容
在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是
．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（ 结果用分数表示）
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（ 结果用分数表示）
（I）设命中油罐的次数为X，则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆．
P(X=0)=(1-
)5=
，
P(X=1)=
×
×(1-
)4=
，
∴油罐被引爆的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=
．…(6分)
（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．
P(ξ=2)=
×
=
，
P(ξ=3)=
×
(1-
)×
=
，
P(ξ=4)=
×
(1-
)2×
=
，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
=1-(
+
+
)=
．
因此，ξ的分布列为：
∴Eξ=2×
+3×
+4×
+5×
=
．…(14分)
P(X=0)=(1-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 243 |
P(X=1)=
| C | 15 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 243 |
∴油罐被引爆的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=
| 232 |
| 243 |
（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．
P(ξ=2)=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
P(ξ=3)=
| C | 12 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
P(ξ=4)=
| C | 13 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
=1-(
| 4 |
| 9 |
| 8 |
| 27 |
| 4 |
| 27 |
| 1 |
| 9 |
因此，ξ的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 4 |
| 9 |
| 8 |
| 27 |
| 4 |
| 27 |
| 1 |
| 9 |
| 79 |
| 27 |
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