题目内容

在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）

解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆．
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
= $\text{[math]}$ ．
因此，ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）由题意知每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是 $\text{[math]}$ ，本试验是一个独立重复试验，先求出油罐不能被引爆的概率，然后利用1减不能引爆的概率即可得到答案．
（II）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况，写出分布列．
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．