Question

【题目】已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于， 两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， 求出 、 、，即可得结果；（2）设， ，设直线的方程为 ，直线与曲线联立，根据韦达定理，将 用 表示，利用基本不等式即可得结果.

试题解析：(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，

又，所以，解得， ，

所以椭圆的方程为.

(2)由(1)知，设， ，设直线的方程为.

联立得，

由得，

∴，

又，所以直线的斜率.

①当时， ；

②当时， ，即.

综合①②可知，直线的斜率的取值范围是.