Question

若不等式 log_ax＞sin2x对于区间(0，

π

4

]内的任意x都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，

  π

  4

  ）
• C．（

  π

  4

  ，1）
• D．（

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：要使得x∈（0，

π

4

]，sin2x＞0，结合函数的图象可知0＜a＜1，结合函数的图象可得sin

π

2

＜log_a

π

4

，从而可求a的范围．

解答：解：当a＞1时，x∈（0，

π

4

]，sin2x＞0，而log_ax＜0显然不符合题意，
∴0＜a＜1，
结合函数的图象，要使得x∈（0，

π

4

]，sin2x＜log_ax都成立，则只有sin

π

2

＜log_a

π

4

，
∴

π

4

＜a＜1，
综上可得，

π

4

＜a＜1．
故答案为：（

π

4

，1）．

点评：本题主要考查了函数的恒成立问题，解题的关键是准确作出正弦函数及对数函数在所给区间上的图象，注意数形结合思想的应用．属于基础题．