题目内容
【题目】已知动圆
与圆
：
外切且与
轴相切.
（1）求圆心的轨迹
的方程；
（2）过作斜率为
的直线
交曲线于
，
两点，
①若
，求直线的方程；
②过，两点分别作曲线的切线
，
，求证：，的交点恒在一条定直线上.
【答案】（1）
或
；（2）①
：
；②证明见解析
【解析】
（1）把圆
化成标准方程形式，根据题意列出等式，然后两边平方，结合绝对值的性质进行求解即可；
（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，根据共线向量的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可；
②把抛物线方程写成函数形式，利用导数求出切线方程，结合①结论进行求解即可.
（1）
：
，
设
，则
：或.
（2）由已知得直线：
，把代入
得，
，
①设
，
，由
得
，
∴
，又由得
，
，∴
，
∴：.
②由得
，∴
，
∴
：
，
，
∴，
的交点恒在直线
上.
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