Question

（2013•潍坊一模）某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为

1

3

，乙答对每个题的概为

2

3

．
（I）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和为20分的概率．

Answer 1

分析：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，分别求得各自对应的概率，可得分布列，进而可得的期望；（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分别求得概率，由概率的加法公式可得答案．

解答：解：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-

1

3

=

2

3

，P（X=10）=

1

3

•(1-

1

3

)=

2

9

，
P（X=20）=(

1

3

)2•(1-

1

3

)=

2

27

，P（X=30）=(

1

3

)3•(1-

1

3

)=

2

81

，
P（X=40）=(

1

3

)4=

1

81

，故X的分布列如下：

X	0	10	20	30	40
P	2 3	2 9	2 27	2 81	1 81

故所求的数学期望EX=0×

2

3

+10×

2

9

+20×

2

27

+30×

2

81

+40×

1

81

=

400

81

；
（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，
则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）=(1-

1

3

)•(

2

3

)2(1-

2

3

)=

8

81

，P（C）=

1

3

•(1-

1

3

)•

2

3

•(1-

2

3

)=

4

81

，P（D）=(

1

3

)2(1-

1

3

)•

1

3

=

2

81

，
故P（A）=P（B+C+D）=

8

81

+

4

81

+

2

81

=

14

81

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及互斥事件的应用，属中档题．