Question

（2013•潍坊一模）已知数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成等差数列{b_n}，S_n是{b_n}的前n项和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）设Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，当m∈[-1，1]时，对任意n∈N^*，不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由等差数列{b_n}满足b₁=a₁=1，S₅=15．求出数列的公差后，可得数列的通项公式，结合数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a₉=16，可求出公比，进而求出a₅₀的值；
（Ⅱ）由（1）求出S_n的表达式，利用裂项相消法求出T_n的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值问题，利用导数法，可得答案．

解答：解：（I）设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=1，S₅=5+10d=15．
解得d=1
∴b_n=n
∴b₄=a₇=4，
设第三行开始，每行的公比都是q，且q＞0
则a₉=a₇•q²=4q²=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45个数
故a₅₀是数列第10行第5个数
故a₅₀=b₁₀•q⁴=10×16=160
（II）由（I）易得S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

∴Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n•(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

令f（x）=

2x

(x+1)(2x+1)

（x≥1）
∴f′（x）=

2-4x2

(x+1)2(2x+1)2

，（x≥1）
由x≥1时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴T_n随n的增大而减小，故当n=1时T_n取最大值T₁=

1

3

若不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，
则t3-2mt-

8

3

＞

1

3

恒成立，
即t³-2mt-3＞0恒成立，
令g（m）=t³-2mt-3，m∈[-1，1]
则

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

2t+t2-3＞0 -2t+t2-3＞0

解得t＜-3或t＞3

点评：本题考查的知识点是等差数列，等比数列，其中（I）的关键求出数列的通项公式，（II）的关键是利用裂项相消法求出T_n的表达式．