题目内容
【题目】已知圆
的圆心在
轴上，点
是圆的上任一点，且当点的坐标为
时，到直线
距离最大.
（1）求直线
被圆截得的弦长；
（2）已知
，经过原点，且斜率为
的直线
与圆交于
，
两点.
（Ⅰ）求证：
为定值；
（Ⅱ）若
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（1）当
到直线
距离最大时，
与垂直，可求出圆心
的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
的距离
，再由
可得到弦长；（2）设直线
的方程为
，与圆的方程联立，可得到关于
的一元二次方程，及根与系数关系。对于（Ⅰ）由
代入根与系数关系可得到定值；对于（Ⅱ）
可化为
，代入根与系数关系即可求出
，从而得到答案。
（1）由题意，设圆心
，当的坐标为
时，
，
，
.
，
，所以半径为
.
圆的标准方程为
.
圆心到直线的距离为
，
所求弦长为
.
（2）设直线的方程为，与圆的方程联立，
可得
，
，
.
（Ⅰ）
为定值；
（Ⅱ）
，
.
.
直线的方程为.
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