Question

【题目】如图，在三棱锥与三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，分别为的中点，，．

（Ⅰ）试在平面内作一条直线，当时，均有平面（作出直线并证明）；

（Ⅱ）求两棱锥体积之和的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：(Ⅰ)即过H点作一平面与平面ABC平行，与平面EFC的交线为直线。H为中点，所以取的中点为，的中点为，连，则即为所作直线.

（Ⅱ）把两个三棱锥的体积和转化为两个四棱锥的体积和，

即，求梯形EFBD的面积最大值。

详解：（Ⅰ）设的中点为，的中点为，连，则即为所作直线.

因为分别为的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为分别为的中点，所以，

因为，所以

又平面，平面，所以平面，

因为，平面，所以平面平面，

由知平面，所以平面.

（Ⅱ）因，所以与确定一个平面.

连，因，为的中点，

所以，同理；

又，所以平面

所以

其中，，为梯形的高，，

当平面平面时，，

所以 .