Question

【题目】【2016高考山东理数】已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；

（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为；

.

当， 时，，单调递增；

，单调递减.

当时，.

（1），，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

（2）时，，在内，，单调递增；

（3）时，，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减.

综上所述，

当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；

当时，在内单调递增；

当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，

，，

令，.

则，

由可得，当且仅当时取得等号.

又，

设，则在单调递减，

因为，

所以在上存在使得 时，时，，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

由于，因此，当且仅当取得等号，

所以，

即对于任意的恒成立。