Question

已知函数y=-2x²+8x-9，其图象按a平移后，得到的抛物线的顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4,求平移后的函数解析式及向量a的坐标．

Answer 1

解法一：设平移后的函数解析式为y=-2x²+b.?由题意可知该抛物线过点(2,0).?∴有-2×4+b=0,∴b=8.?∴平移后的函数解析式为y=-2x²+8.?设P(x,y)为平移前函数图象上的任意一点，其平移后的对应点为P′(x′,y′).?则有y′-8=-2x′², ∴ ?即 ∴?∴a=(-2,9).?

解法二：设a=（h,k)，则 即代入y=-2x²+8x+9,有y′-k=-2(x′-h)²+8(x′-h)-9,?即y′=-2x′²+(4h+8)x′-2h²+k-9.?∵平移后的抛物线顶点在y轴上，∴对称轴方程为x=-×(-2)=0,?∴4h+8=0,?∴h=-2.∴有y′=-2x′²+k-1过点（2，0）.?∴-8+k-1=0.?∴k=9.?∴a=(-2,9),y′=-2x′²+8,?即平移后的函数解析式为y=-2x²+8.