Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1．已知G，E分别为A₁B₁，CC₁的中点，D，F分别为线段AC，AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量 ，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），
G（ ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
∴
∵GD⊥EF，
∴x+2y-1=0，
∴x=1-2y
DF====
∵0＜y＜1
∴当y=时，线段DF长度的最小值是
又y=1时，线段DF长度的最大值是 1
而不包括端点，故y=1不能取；
故线段DF的长度的取值范围是：．
故选A．
点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．