Question

已知a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则mn的最大值为（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：由题意可得，函数y=a^x的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m，函数y=log_ax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为n．再根据函数y=a^x和y=log_ax互为反函数，可得点（m，4-m）与点 （n，4-n）关于直线y=x对称，

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4，再利用基本不等式求得mn的最大值．

解答：解：∵a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，
∴函数y=a^x的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m，
函数y=log_ax的图象和直线4-x的交点的横坐标为n．
再根据函数y=a^x和y=log_ax互为反函数，可得点（m，4-m）与点 （n，4-n）关于直线y=x对称，
∴

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4≥2

mn

，
∴mn≤4，当且仅当m=n=2时，等号成立，
故mn的最大值为4，
故选：B．

点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，基本不等式的应用，属于中档题．